الفصل الخامس: النماذج غير الخطية في تحليل السلاسل الزمنية

تتعامل النماذج غير الخطية مع السلوك الديناميكي المعقد للسلاسل الزمنية التي لا يمكن نمذجتها بواسطة النماذج الخطية التقليدية. في هذا الفصل، نستكشف أهم النماذج غير الخطية وتطبيقاتها.

\[ \text{Nonlinear Model:} \quad y_t = f(y_{t-1}, y_{t-2}, \dots, \varepsilon_t) + \varepsilon_t \]

1

مقدمة في النماذج غير الخطية

لماذا النماذج غير الخطية؟

تظهر العديد من الظواهر الاقتصادية والمالية خصائص غير خطية مثل:

تجميع التقلبات في الأسواق المالية
عدم تماثل ردود الفعل تجاه الصدمات
وجود عتبات للسلوك
تغير النماذج عبر الزمن
الاعتماد على الحالة State-dependence

خصائص السلاسل غير الخطية:

سلاسل خطية:

دالة خطية في المتغيرات
توزيع ثابت للمتغيرات
استجابة متناسبة للصدمات
يمكن تحليلها بالطرق الخطية

سلاسل غير خطية:

دالة غير خطية في المتغيرات
توزيع متغير عبر الزمن
استجابة غير متناظرة للصدمات
تتطلب طرق تحليل خاصة

مقارنة السلوك الخطي وغير الخطي

نموذج خطي:

\(y_t = 0.8y_{t-1} + \varepsilon_t\)

نموذج غير خطي:

\(y_t = 0.8|y_{t-1}| + \varepsilon_t\)

اختبارات اكتشاف عدم الخطية:

اختبار BDS: للكشف عن البناء الذاتي غير الخطي
اختبار McLeod-Li: للكشف عن ارتباط التربيعات
اختبار Teräsvirta: للكشف عن نماذج STAR
اختبار RESET: للكشف عن شكل خطأ في التحديد
تحليل إشارات الترددات: للكشف عن السلوك الدوري

2

نماذج ARCH و GARCH

نموذج ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity):

قدمه إنجل (1982) لوصف تجميع التقلبات في السلاسل الزمنية:

\[ \begin{aligned} y_t &= \mu_t + \varepsilon_t \\ \varepsilon_t &= \sigma_t z_t, \quad z_t \sim N(0,1) \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \dots + \alpha_q \varepsilon_{t-q}^2 \end{aligned} \]

حيث \(\sigma_t^2\) هو التباين الشرطي في الوقت \(t\).

نموذج GARCH (Generalized ARCH):

قدمه بولرسليف (1986) كتعميم لنموذج ARCH:

\[ \sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^q \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^p \beta_j \sigma_{t-j}^2 \]

شرط الاستقرار: \(\sum_{i=1}^q \alpha_i + \sum_{j=1}^p \beta_j < 1\).

مستكشف نماذج GARCH

معامل ARCH (α):

0 0.20 0.9

معامل GARCH (β):

0 0.70 0.9

طول السلسلة:

نموذج GARCH(1,1): \(\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2\)

حيث \(\omega = 0.1\), \(\alpha = 0.20\), \(\beta = 0.70\)

تطبيقات نماذج GARCH:

نمذجة التقلبات في الأسواق المالية: توقع التباين الشرطي للعوائد
إدارة المخاطر: حساب القيمة المعرضة للخطر (VaR)
تسعير المشتقات: نمذجة تقلبات الأصول الأساسية
قرارات الاستثمار: تحليل علاقة المخاطرة بالعائد

3

نماذج التبديل Markov Switching

نموذج Markov Switching:

يفترض النموذج أن السلسلة تتبع أنظمة مختلفة (حالات) مع احتمالات انتقال بين هذه الأنظمة:

\[ y_t = \mu_{S_t} + \phi_{S_t} y_{t-1} + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim N(0, \sigma_{S_t}^2) \]

حيث \(S_t \in \{1, 2, \dots, m\}\) تمثل الحالة في الوقت \(t\).

مصفوفة الانتقال:

احتمالات الانتقال بين الحالات:

\[ P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1m} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{mm} \end{pmatrix} \]

حيث \(p_{ij} = \Pr(S_t = j \mid S_{t-1} = i)\).

محاكاة نموذج Markov Switching

الحالة 1: التوسع

الوسط (μ₁):

معامل AR (φ₁):

الانحراف المعياري (σ₁):

الحالة 2: الانكماش

الوسط (μ₂):

معامل AR (φ₂):

الانحراف المعياري (σ₂):

مصفوفة احتمالات الانتقال

p₁₁ (البقاء في الحالة 1):

\(p_{11} = 0.90\)

p₂₂ (البقاء في الحالة 2):

\(p_{22} = 0.80\)

تطبيق: دورة الأعمال

يستخدم نموذج Markov Switching لنمذجة فترات التوسع والانكماش في دورة الأعمال. يمكن تحديد فترات الركود والتوسع بناءً على تحولات الحالة في النموذج.

4

النماذج العتبية

نموذج SETAR (Self-Exciting Threshold Autoregressive):

نوع من النماذج العتبية حيث تعتمد الحالة على القيم الماضية للسلسلة نفسها:

\[ y_t = \begin{cases} \phi_0^{(1)} + \phi_1^{(1)} y_{t-1} + \dots + \phi_p^{(1)} y_{t-p} + \varepsilon_t^{(1)} & \text{if } y_{t-d} \leq r \\ \phi_0^{(2)} + \phi_1^{(2)} y_{t-1} + \dots + \phi_p^{(2)} y_{t-p} + \varepsilon_t^{(2)} & \text{if } y_{t-d} > r \end{cases} \]

حيث \(r\) هي العتبة، و \(d\) هو تأخر العتبة.

مستكشف نموذج SETAR

معلمات النموذج

العتبة (r):

-2 0.0 2

تأخر العتبة (d):

طول السلسلة:

النظام 1 (y_{t-d} ≤ r)

φ₀¹:

φ₁¹:

σ¹:

النظام 2 (y_{t-d} > r)

φ₀²:

φ₁²:

σ²:

اختبارات العتبة:

اختبار Hansen: لاختبار وجود عتبة
اختبار Tsay: للكشف عن عدم الخطية
اختبار الترتيب: لتحديد تأخر العتبة
مخطط RSS: لتحديد قيمة العتبة

5

النماذج الشاذة العصبية

الشبكات العصبية الاصطناعية (ANN):

نماذج رياضية مستوحاة من الشبكات العصبية البيولوجية، قادرة على تعلم العلاقات غير الخطية:

\[ y_t = \beta_0 + \sum_{j=1}^m \beta_j g\left(\gamma_{j0} + \sum_{i=1}^p \gamma_{ji} y_{t-i}\right) + \varepsilon_t \]

حيث \(g(\cdot)\) هي دالة التنشيط غير الخطية.

محاكاة الشبكات العصبية للتنبؤ

عدد الطبقات المخفية:

عدد العصبونات:

دالة التنشيط:

توليد بيانات للتنبؤ

نمط البيانات:

حجم العينة:

تطبيقات الشبكات العصبية:

المزايا:

قدرة عالية على التعلم من البيانات
مرونة في نمذجة العلاقات المعقدة
قدرة على التعميم
لا تتطلب افتراضات مسبقة

التحديات:

المبالغة في التخصيص Overfitting
صعوبة التفسير (الصندوق الأسود)
حساسية للقيم الأولية
تتطلب بيانات كثيرة للتدريب

6

تمارين الفصل الخامس

التمرين 1: تحديد تجميع التقلبات

بالنظر إلى السلسلة الزمنية التالية للعوائد:

1. هل تظهر السلسلة تجميعاً للتقلبات؟

2. ما هو النموذج المناسب لنمذجة هذه السلسلة؟

تجميع التقلبات:

النموذج المناسب:

التمرين 2: حساب استقرارية نموذج GARCH

بالنظر إلى نموذج GARCH(1,1) التالي:

\[ \sigma_t^2 = 0.1 + 0.15 \varepsilon_{t-1}^2 + 0.75 \sigma_{t-1}^2 \]

1. احقق من شرط الاستقرارية للنموذج.

2. ما هو التباين غير المشروط للسلسلة؟

هل النموذج مستقر؟

التباين غير المشروط:

التمرين 3: تحديد حالات Markov Switching

بالنظر إلى نموذج Markov Switching ذو حالتين:

الحالة 1: \(y_t = 1.0 + 0.7y_{t-1} + \varepsilon_t^{(1)}\)

\(\varepsilon_t^{(1)} \sim N(0, 0.5^2)\)

الحالة 2: \(y_t = -0.5 + 0.5y_{t-1} + \varepsilon_t^{(2)}\)

\(\varepsilon_t^{(2)} \sim N(0, 1.0^2)\)

\[ P = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.1 \\ 0.2 & 0.8 \end{pmatrix} \]

1. ما هو متوسط مدة البقاء في كل حالة؟

2. ما هي الاحتمالية الثابتة لكل حالة؟

متوسط مدة الحالة 1:

متوسط مدة الحالة 2:

فهرس الفصل الخامس

أدوات تفاعلية