تقدم الكتاب 80%

فهرس الفصل الرابع

أدوات تفاعلية

الفصل الرابع: نماذج أشعة الانحدار الذاتي (VAR و VECM)

في هذا الفصل، ندرس نماذج أشعة الانحدار الذاتي (VAR) ونماذج تصحيح الخطأ (VECM). هذه النماذج مهمة لتحليل العلاقات الديناميكية بين متغيرات اقتصادية متعددة.

\[ \text{VAR}(p): \quad \mathbf{Y}_t = \mathbf{c} + \mathbf{\Phi}_1 \mathbf{Y}_{t-1} + \dots + \mathbf{\Phi}_p \mathbf{Y}_{t-p} + \mathbf{\varepsilon}_t \]
1

مفهوم نماذج أشعة الانحدار الذاتي (VAR)

تعريف نموذج VAR:

نموذج أشعة الانحدار الذاتي من الرتبة \(p\)، يُرمز له بـ \(VAR(p)\)، هو نظام من المعادلات يربط عدة متغيرات زمنية مع بعضها البعض وبقيمها الماضية:

\[ \mathbf{Y}_t = \mathbf{c} + \mathbf{\Phi}_1 \mathbf{Y}_{t-1} + \mathbf{\Phi}_2 \mathbf{Y}_{t-2} + \dots + \mathbf{\Phi}_p \mathbf{Y}_{t-p} + \mathbf{\varepsilon}_t \]

حيث:

  • \(\mathbf{Y}_t\): متجه \(k \times 1\) من المتغيرات في الوقت \(t\)
  • \(\mathbf{c}\): متجه \(k \times 1\) من الثوابت
  • \(\mathbf{\Phi}_i\): مصفوفة \(k \times k\) من معاملات التأخر \(i\)
  • \(\mathbf{\varepsilon}_t\): متجه \(k \times 1\) من أخطاء الضجيج الأبيض

مثال: نموذج VAR(1) ثنائي المتغيرات

لنموذج VAR(1) بمتغيرين \(y_t\) و \(x_t\):

\[ \begin{aligned} y_t &= c_1 + \phi_{11} y_{t-1} + \phi_{12} x_{t-1} + \varepsilon_{1t} \\ x_t &= c_2 + \phi_{21} y_{t-1} + \phi_{22} x_{t-1} + \varepsilon_{2t} \end{aligned} \]

يمكن كتابته في الصيغة المصفوفية:

\[ \begin{pmatrix} y_t \\ x_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \phi_{11} & \phi_{12} \\ \phi_{21} & \phi_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{t-1} \\ x_{t-1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \varepsilon_{1t} \\ \varepsilon_{2t} \end{pmatrix} \]

مستكشف نماذج VAR الأساسية

50 200 500
السلاسل الزمنية للمتغيرات
علاقات الارتباط المتبادل
المعادلات المقدرة للنموذج
2

استقرارية نماذج VAR

شرط الاستقرارية لنموذج VAR:

يكون نموذج VAR مستقراً إذا وفقط إذا كانت جميع جذور المعادلة التالية تقع داخل دائرة الوحدة:

\[ \det\left(\mathbf{I} - \mathbf{\Phi}_1 z - \mathbf{\Phi}_2 z^2 - \dots - \mathbf{\Phi}_p z^p\right) = 0 \]

حيث \(|z| > 1\).

خصائص النماذج المستقرة:

  1. الوسط الحسابي للمتغيرات ثابت وغير متغير بالزمن
  2. التغاير بين المتغيرات يعتمد فقط على الفارق الزمني وليس على الوقت المطلق
  3. النموذج يمكن تمثيله كـ VMA(∞) (متجه متوسطات متحركة لانهائي)
  4. يمكن إجراء تحليل استجابة الدفع وتحليل التباين

فحص استقرارية نموذج VAR

إدخال معاملات مصفوفة VAR(1) لـ 2×2:

مثال: نموذج VAR غير مستقر

ضعف في جذور النموذج:

\[ \mathbf{\Phi}_1 = \begin{pmatrix} 1.1 & 0 \\ 0 & 1.1 \end{pmatrix} \]

جذور هذا النموذج هي \(z = 1/1.1 ≈ 0.909\)، والتي تقع داخل دائرة الوحدة، مما يجعل النموذج غير مستقر.

3

التحليل الديناميكي لنماذج VAR

تحليل استجابة الدفع (Impulse Response Analysis):

يقيس تأثير صدمة في أحد متغيرات النظام على جميع المتغيرات الأخرى مع مرور الوقت. لنموذج VAR مستقر، يمكن حساب استجابة الدفع باستخدام تمثيل VMA(∞):

\[ \mathbf{Y}_t = \mathbf{\mu} + \sum_{i=0}^{\infty} \mathbf{\Psi}_i \mathbf{\varepsilon}_{t-i} \]

حيث \(\mathbf{\Psi}_i\) هي مصفوفات استجابة الدفع للتأخر \(i\).

تحليل تحليل التباين (Variance Decomposition):

يقسم التباين في خطأ التنبؤ لكل متغير إلى المساهمات الناتجة عن صدمات في جميع متغيرات النظام.

تحليل استجابة الدفع لنموذج VAR

معاملات نموذج VAR(1) للتحليل:
5 20 50
4

نماذج VECM والتكامل المشترك

نموذج تصحيح الخطأ المتجهي (VECM):

عندما تكون متغيرات نظام VAR متكاملة من الرتبة الأولى I(1) ولها علاقة تكامل مشترك، يمكن كتابة النموذج في صيغة تصحيح الخطأ:

\[ \Delta \mathbf{Y}_t = \mathbf{\Pi} \mathbf{Y}_{t-1} + \mathbf{\Gamma}_1 \Delta \mathbf{Y}_{t-1} + \dots + \mathbf{\Gamma}_{p-1} \Delta \mathbf{Y}_{t-p+1} + \mathbf{\varepsilon}_t \]

حيث:

  • \(\mathbf{\Pi} = \mathbf{\alpha} \mathbf{\beta}'\) هي مصفوفة رتبة \(r < k\)
  • \(\mathbf{\alpha}\): مصفوفة سرعات التعديل
  • \(\mathbf{\beta}\): مصفوفة متجهات التكامل المشترك
  • \(\mathbf{\beta}' \mathbf{Y}_t\): علاقات التوازن الطويل الأجل

نظرية تمثيل جرانجر:

إذا كانت متجهات السلاسل الزمنية \(\mathbf{Y}_t\) متكاملة من الرتبة I(1)، وتوجد علاقات تكامل مشترك بينها، فإنه يمكن تمثيلها بنموذج تصحيح الخطأ.

استكشاف نماذج VECM

محاكاة سلاسل متكاملة مشتركاً
-1.0 -0.5 -0.1
\( y_t = 1 x_t + \text{ثابت} \)

مثال: تطبيق عملي على VECM

نموذج VECM لتوازن طويل الأجل بين الاستهلاك والدخل:

\[ \begin{aligned} \Delta C_t &= \alpha_1 (C_{t-1} - \beta Y_{t-1}) + \gamma_{11} \Delta C_{t-1} + \gamma_{12} \Delta Y_{t-1} + \varepsilon_{1t} \\ \Delta Y_t &= \alpha_2 (C_{t-1} - \beta Y_{t-1}) + \gamma_{21} \Delta C_{t-1} + \gamma_{22} \Delta Y_{t-1} + \varepsilon_{2t} \end{aligned} \]

حيث \(C_t - \beta Y_t\) يمثل علاقة التوازن الطويل الأجل.

5

تمارين الفصل الرابع

التمرين 1: تحديد استقرارية نموذج VAR

بالنظر إلى مصفوفة معاملات VAR(1) التالية:

\[ \mathbf{\Phi}_1 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{pmatrix} \]

1. احسب جذور النموذج.

2. حدد ما إذا كان النموذج مستقراً أم لا.

التمرين 2: تحليل استجابة الدفع

بالنظر إلى نموذج VAR(1) التالي:

\[ \begin{aligned} y_t &= 0.6y_{t-1} + 0.2x_{t-1} + \varepsilon_{1t} \\ x_t &= 0.1y_{t-1} + 0.5x_{t-1} + \varepsilon_{2t} \end{aligned} \]

1. احسب مصفوفة استجابة الدفع \(\mathbf{\Psi}_1\).

2. ما هو تأثير صدمة في \(\varepsilon_{1t}\) على \(y_t\) بعد فترة واحدة؟

التمرين 3: تحديد علاقات التكامل المشترك

بالنظر إلى زوج من السلاسل الزمنية \(y_t\) و \(x_t\):

1. هل السلاسل \(y_t\) و \(x_t\) متكاملة من الرتبة الأولى؟

2. هل يوجد بينهما علاقة تكامل مشترك؟

تكامل السلاسل:

علاقة التكامل المشترك:

الفصل الثالث الفصل الخامس: النماذج غير الخطية