تقدم الفصل 60%

فهرس الفصل

أدوات تفاعلية

الفصل الثالث: السلسل غير المستقرة والانحدار الزائف

الانحدار باستخدام سلاسل غير مستقرة قد يؤدي إلى نتائج زائفة وغير حقيقية. فقد تظهر علاقات معنوية بين متغيرات لا وجود لأي علاقة بينها. ذلك لأن توزيع المعلمات في حالة عدم استقرار السلاسل ليس التوزيع الطبيعي المعروف بل توزيع آخر مما يصبح الاستقراء الإحصائي المعتاد غير صالح.

سؤال مهم:

إذا كان عدم استقرار السلاسل يؤدي إلى مشاكل في الاستقراء الإحصائي حول المعلمات، فلماذا عند دراسة نماذج الانحدار دائمًا نبدأ بذكر فرضيات النموذج المعروفة ولا نجد فرضية استقرارية ضمن هذه الفرضيات؟

الإجابة:

  1. فرضية عدم عشوائية المتغيرات التفسيرية تتضمن ضمنًا عدم استقرار السلاسل.
  2. مقررات القياس الاقتصادي لا تذكر خصائص التقاربية للمقدرات (لا تتطلب معرفة متقدمة في الاحتمالات والإحصاء الرياضي).
  3. مثلاً في كتاب Theil (1971)، عند برهنة خصائص مقدرات OLS والتوزيع التقاربي لا يذكر الفرضيتين التاليتين:
\[ E(\epsilon|X) = 0, \quad Var(\epsilon|X) = \sigma^2 I \]
\[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T}X'X = Q \]

وهاتان الفرضيتان لا تتحققان في حالة السلاسل غير المستقرة.

1

مشكلة الانحدار الزائف

تعريف الانحدار الزائف:

الانحدار الزائف يحدث عند تقدير نموذج انحدار بين متغيرين غير مستقرين لا يرتبطان حقيقياً، ولكن النموذج يظهر علاقة إحصائية معنوية بسبب الاتجاهات المشتركة أو الخصائص المشتركة للسلسل غير المستقرة.

خصائص الانحدار الزائف:

1. إحصائية t غير معيارية

إحصائية t لا تتبع التوزيع t، تنمو مع حجم العينة → تظهر معنوية وهمية.

2. معامل التحديد R² مرتفع

R² لا يتقارب إلى 0 بل إلى قيمة عشوائية. متوسط R² ≈ 0.5 حتى مع الاستقلال.

3. إحصائية Durbin-Watson منخفضة

DW → 0 مع زيادة العينة → يشير لارتباط ذاتي موجب قوي في البواقي.

4. توزيع المعلمات غير معياري

\(\hat{\beta}\) لا يتقارب إلى 0، توزيعه غير معياري، متوسطه ≠ 0.

محاكاة الانحدار الزائف

50 200 1000
2

تجربة جرانجر ونيوبولد (1974)

التجربة الكلاسيكية:

قام جرانجر وزميله نيوبولد سنة 1974 بتجربة مهمة أثبتت فيها مشكلة الانحدار الزائف، مع العلم أن Yule أول من أشار إلى هذه المشكلة في مقال له سنة 1926 إلا أنه استخدم معاملات ارتباط ولم يستخدم نماذج انحدار.

التجربة: انحدار بين سيرين عشوائيين مستقلين

النموذج:
\[ \begin{aligned} x_t &= x_{t-1} + \epsilon_t \\ y_t &= y_{t-1} + v_t \\ \epsilon_t, v_t &\sim i.i.d.(0,1) \end{aligned} \]

\(x_t\) و \(y_t\) سيران عشوائيان مستقلان.

تقدير الانحدار:
\[ y_t = \alpha + \beta x_t + u_t \]

رغم الاستقلال، نموذج OLS يظهر:

  • R² مرتفع
  • t-statistic كبير
  • Durbin-Watson منخفض

نتائج التجربة (100 تكرار):

الحالة عدد مرات الرفض (%) متوسط R² متوسط DW التفسير
متغير واحد غير مستقر 76% 0.26 0.32 نتائج زائفة
5 متغيرات غير مستقرة 96% 0.35 0.28 نتائج زائفة أكثر
متغيرات مستقرة 8% 0.004 2.02 نتائج صحيحة

تفسير النتائج: عدد مرات رفض الفرضية الصفرية (لا علاقة) يجب أن يكون حوالي 5% عند مستوى معنوية 5%، ولكن مع المتغيرات غير المستقرة وصل إلى 76% مما يظهر علاقات معنوية وهمية.

محاكاة تجربة جرانجر

10 100 500
3

مفهوم التكامل المشترك

ما هو التكامل المشترك؟

التكامل المشترك يعني أنه رغم أن المتغيرات فرديًا غير مستقرة (I(1))، إلا أن هناك تركيبة خطية منها تكون مستقرة (I(0)). هذه التركيبة تمثل علاقة توازنية طويلة المدى بين المتغيرات.

المغناطيس التوازني

فكرة التكامل المشترك:

يعمل التكامل المشترك كمغناطيس يجذب المتغيرات نحو العلاقة التوازنية طوال الوقت ويمنعها من الانحراف المستمر والدائم عن هذه العلاقة.

\[ y_t = \beta x_t + \epsilon_t \]

حيث \(y_t\) و \(x_t\) غير مستقرين، ولكن \(\epsilon_t\) مستقر.

مثال توضيحي:
\[ \begin{aligned} x_t &= x_{t-1} + \eta_t \\ y_t &= 5 + x_t + 0.8\eta_{t-1} + \eta_t \end{aligned} \]

كلا المتغيرين غير مستقرين، ولكن:

\[ y_t - x_t = 5 + 0.8\eta_{t-1} + \eta_t \]

هذه التركيبة مستقرة (MA(1))

شروط تحقق التكامل المشترك (حسب جرانجر):

الشرط 1: نفس رتبة التكامل

يجب أن تخضع المتغيرات لاتجاه عام عشوائي (Stochastic Trend) لهن نفس رتبة الفرق "d".

الشرط 2: تركيب خطي مستقر

يجب أن يكون هناك تركيب خطي من السلسلتين يولد سلسلة ذات رتبة فرق أقل.

\[ \text{إذا كان } Y_t \sim I(d) \text{ و } X_t \sim I(d) \text{ فإن } \alpha Y_t + \beta X_t \sim I(d-b) \]

حيث \(d \geq b \geq 0\)، ونكتب: \(Y_t, X_t \sim CI(d,b)\)

خصائص رتبة التكامل:

الحالة النتيجة التفسير
\(X_t \sim I(0), Y_t \sim I(0)\) \(aX_t + bY_t \sim I(0)\) مجموع مستقرين = مستقر
\(X_t \sim I(1), Y_t \sim I(0)\) \(X_t + Y_t \sim I(1)\) مجموع غير مستقر ومستقر = غير مستقر
\(X_t \sim I(1), Y_t \sim I(1)\) \(aX_t + bY_t \sim I(?)\) قد يكون مستقراً (تكامل مشترك) أو غير مستقر
4

اختبار وتقدير التكامل المشترك

طرق اختبار التكامل المشترك:

ظهرت عدة طرق لاختبار وتقدير علاقة التكامل المشترك، أشهرها طريقة أنجل وجرنجر ذات المرحلتين (لحالة متغيرين) وطريقة جوهانسن (لحالة متغيرات متعددة).

1. طريقة أنجل وجرنجر ذات المرحلتين:

المرحلة الأولى: تقدير العلاقة الطويلة المدى
\[ y_t = \beta_0 + \beta_1 x_{1t} + \cdots + \beta_k x_{kt} + \epsilon_t \]

تقدير النموذج باستخدام OLS وحساب البواقي: \(\hat{\epsilon}_t = y_t - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_{1t} - \cdots - \hat{\beta}_k x_{kt}\)

المرحلة الثانية: اختبار استقرارية البواقي
\[ \Delta \hat{\epsilon}_t = \alpha \hat{\epsilon}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \gamma_i \Delta \hat{\epsilon}_{t-i} + u_t \]

استخدام اختبار ADF على البواقي. إذا كانت البواقي مستقرة ⇒ وجود تكامل مشترك.

ملاحظة: القيم الحرجة خاصة لأن البواقي مقدرة وليست مرصودة.

2. طريقة جوهانسن:

نموذج تصحيح الخطاء (VECM):
\[ \Delta Y_t = \Pi Y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_i \Delta Y_{t-i} + \epsilon_t \]

حيث \(Y_t\) متجه يحتوي على k متغير.

تحليل المصفوفة Π:
\[ \Pi = \alpha \beta^T \]
  • \(r = rank(\Pi)\) = عدد علاقات التكامل المشترك
  • \(\beta\) = مصفوفة معاملات العلاقات الطويلة المدى
  • \(\alpha\) = مصفوفة معاملات سرعة التصحيح

اختبارات جوهانسن:

اختبار الأثر (Trace Test)
\[ \lambda_{trace}(r) = -T \sum_{i=r+1}^{k} \ln(1 - \hat{\lambda}_i) \]

\(H_0: rank(\Pi) = r\) مقابل \(H_1: rank(\Pi) > r\)

اختبار القيمة الذاتية القصوى
\[ \lambda_{max}(r, r+1) = -T \ln(1 - \hat{\lambda}_{r+1}) \]

\(H_0: rank(\Pi) = r\) مقابل \(H_1: rank(\Pi) = r+1\)

محاكاة اختبار التكامل المشترك

5

نماذج تصحيح الخطأ (VECM)

نموذج تصحيح الخطأ (Error Correction Model):

إذا كانت المتغيرات متكاملة مشتركاً، يمكن تقدير نموذج تصحيح الخطأ الذي يدمج العلاقة الطويلة المدى مع الديناميكية قصيرة المدى.

النموذج العام لـ VECM:

\[ \Delta Y_t = \alpha \beta^T Y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_i \Delta Y_{t-i} + \epsilon_t \]
الجزء الطويل المدى:

\(\alpha \beta^T Y_{t-1}\) يمثل تصحيح الخطأ نحو التوازن

الجزء القصير المدى:

\(\sum \Gamma_i \Delta Y_{t-i}\) يمثل الديناميكية قصيرة المدى

معامل سرعة التصحيح (α):

يجب أن يكون سالباً للإشارة إلى التصحيح نحو التوازن

مثال توضيحي (متغيرين):

\[ \begin{aligned} \Delta y_t &= \alpha_1 (y_{t-1} - \beta x_{t-1}) + \gamma_{11} \Delta y_{t-1} + \gamma_{12} \Delta x_{t-1} + \epsilon_{1t} \\ \Delta x_t &= \alpha_2 (y_{t-1} - \beta x_{t-1}) + \gamma_{21} \Delta y_{t-1} + \gamma_{22} \Delta x_{t-1} + \epsilon_{2t} \end{aligned} \]
\((y_{t-1} - \beta x_{t-1})\) = انحراف عن التوازن
\(\alpha_1, \alpha_2\) = سرعة التصحيح نحو التوازن
\(\gamma_{ij}\) = تأثيرات قصيرة المدى

تطبيق عملي: نموذج VECM للطلب على النقود

البيانات:
  • • M = الطلب الحقيقي على النقود
  • • Y = الدخل القومي الحقيقي
  • • R = سعر الفائدة
  • • P = مستوى الأسعار
اختبار التكامل المشترك:
H₀ Trace Statistic Critical Value 5% القرار
r = 0 78.45 47.86 رفض
r ≤ 1 35.23 29.80 رفض
r ≤ 2 15.67 15.49 قبول

النتيجة: هناك علاقتي تكامل مشترك (r = 2)

معادلة تصحيح الخطأ للطلب على النقود:

ΔMₜ = -0.25(Mₜ₋₁ - 1.2Yₜ₋₁ + 0.8Rₜ₋₁) + 0.15ΔMₜ₋₁ + 0.08ΔYₜ₋₁ - 0.12ΔRₜ₋₁ + εₜ

(0.08) (0.05) (0.03) (0.04)

تفسير: معامل تصحيح الخطأ (-0.25) يعني أنه في كل فترة يتم تصحيح 25% من الانحراف عن التوازن.

محاكاة نموذج VECM

-0.9 -0.3 -0.1
0.5 1.2 2.0

خلاصة الفصل

1. مشكلة الانحدار الزائف:

  • الانحدار بين متغيرات غير مستقرة يؤدي إلى نتائج زائفة
  • تظهر معنوية وهمية في الإحصاءات (t-stat, R²)
  • توزيع المعلمات غير معياري في حالة عدم الاستقرار

2. الحل: التكامل المشترك:

  • متغيرات فرديًا غير مستقرة ولكن تركيب خطي منها مستقر
  • يمثل علاقة توازنية طويلة المدى
  • يعمل كمغناطيس يجذب المتغيرات نحو التوازن

3. النمذجة الصحيحة:

  • اختبار استقرارية المتغيرات أولاً (ADF test)
  • إذا كانت غير مستقرة: اختبار التكامل المشترك
  • تقدير نموذج تصحيح الخطأ (VECM) إذا وجد تكامل مشترك
  • استخدام الفوارق إذا لم يوجد تكامل مشترك

القاعدة الذهبية:

دائماً اختبر استقرارية المتغيرات قبل تقدير نماذج الانحدار. استخدم اختبارات الجذر الوحدة والتكامل المشترك لتجنب الانحدار الزائف والحصول على نتائج موثوقة.

تمارين الفصل

التمرين 1: تحليل نتائج انحدار

بالنظر إلى النتائج التالية، هل يعاني النموذج من مشكلة الانحدار الزائف؟

الانحدار: Y = α + βX + ε

نتائج التقدير:
β = 0.85 (t-stat = 12.45, p < 0.001)
R² = 0.72
Durbin-Watson = 0.45

اختبار ADF على Y: غير مستقر (p = 0.78)
اختبار ADF على X: غير مستقر (p = 0.82)
اختبار ADF على البواقي: غير مستقر (p = 0.65)

التمرين 2: تفسير نموذج VECM

بالنظر إلى معادلة VECM التالية:

ΔYₜ = -0.35(Yₜ₋₁ - 1.5Xₜ₋₁) + 0.20ΔYₜ₋₁ + 0.15ΔXₜ₋₁ + εₜ
الفصل الثاني: منهجية بوكس جينكينز الفصل الرابع: نماذج VAR و VECM