تقدم الفصل 33%

فهرس الفصل

أدوات تفاعلية

الفصل الأول: نماذج الانحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة

نماذج الانحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة (ARMA) هي من أهم النماذج في تحليل السلاسل الزمنية. في هذا الفصل، سنتعرف على خصائص هذه النماذج وطرق تقديرها مع أمثلة تفاعلية.

\[ \text{ARMA}(p,q): \quad X_t = \sum_{i=1}^{p} \phi_i X_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q} \theta_j \varepsilon_{t-j} \]
1

خصائص نماذج الانحدار الذاتي

تعريف نموذج الانحدار الذاتي (AR):

نموذج الانحدار الذاتي من الرتبة \(p\)، يُرمز له بـ \(AR(p)\)، يعبر عنه بالعلاقة:

\[ X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t \]

حيث \(\varepsilon_t\) هو خطأ عشوائي أبيض، و \(\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_p\) هي معاملات النموذج.

2

دوال الارتباط والاستقرارية

دالة الارتباط الذاتي (Autocorrelation Function - ACF):

هي دالة تقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين قيمة السلسلة الزمنية الحالية \(X_t\) وقيمتها السابقة عند إزاحة زمنية \(k\)، معبراً عنها بـ \(X_{t-k}\). تُعرّف رياضياً بالعلاقة:

\[ \rho(k) = \frac{\text{Cov}(X_t, X_{t-k})}{\sqrt{\text{Var}(X_t)\text{Var}(X_{t-k})}} = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} \]

حيث:

  • \(\rho(k)\): معامل الارتباط الذاتي للإزاحة \(k\).
  • \(\gamma(k) = \text{Cov}(X_t, X_{t-k})\): دالة التباين الذاتي.
  • \(\gamma(0) = \text{Var}(X_t)\): تباين السلسلة.
تتبع هذه الدالة نمطاً مميزاً (يضمحل عادة بشكل أسي أو جيبي) في النماذج الذاتية (AR).

دالة الارتباط الذاتي الجزئي (Partial Autocorrelation Function - PACF):

هي دالة تقيس الارتباط بين \(X_t\) و \(X_{t-k}\) بعد إزالة التأثير الخطي للقيم الوسيطة \(X_{t-1}, X_{t-2}, \dots, X_{t-k+1}\). بمعنى آخر، هي معامل \(X_{t-k}\) في الانحدار الخطي لـ \(X_t\) على \(X_{t-1}, X_{t-2}, \dots, X_{t-k}\).

\[ \phi_{kk} = \text{Corr}(X_t, X_{t-k} | X_{t-1}, X_{t-2}, ..., X_{t-k+1}) \]

تُعد خاصية أساسية في تحديد رتبة نموذج \(AR(p)\)، حيث تكون قيمتها غير صفرية للإزاحة \(k = p\) وتكون قريبة من الصفر للإزاحات \(k > p\).

شرط استقرارية نموذج الانحدار الذاتي (AR):

لكي يكون نموذج \(AR(p)\) مستقراً (ثابتاً)، يجب أن تكون جميع جذور المعادلة المميزة (Characteristic Equation) تقع خارج دائرة الوحدة في المستوى المركب.

المعادلة المميزة:

\[ 1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \dots - \phi_p z^p = 0 \]

حيث \(z\) هي متغير مركب. يكون النموذج مستقراً إذا حققت جميع جذور المعادلة \(z_1, z_2, ..., z_p\) الشرط:

\[ |z_i| > 1 \quad \text{لكل } i = 1, 2, ..., p \]

نتائج الاستقرار:

  • يكون للنموذج متوسط وتباين ثابتان عبر الزمن.
  • يتلاشى تأثير الصدمة العشوائية (\(\varepsilon_t\)) مع مرور الزمن.
  • تصبح التنبؤات طويلة المدى مساوية لمتوسط السلسلة .

شروط بديلة للاستقرار (لنماذج منخفضة الرتبة):

  • لنموذج \(AR(1)\): يجب أن يكون \(|\phi_1| < 1\).
  • لنموذج \(AR(2)\): يجب أن تحقق المعاملات الثلاثة شروطاً معاً:
    • \(\phi_1 + \phi_2 < 1\)
    • \(\phi_2 - \phi_1 < 1\)
    • \(|\phi_2| < 1\)

مستكشف نماذج الانحدار الذاتي

50 200 500
السلسلة الزمنية
دالة الارتباط الذاتي (ACF)
خصائص النموذج

خصائص دالة الارتباط الذاتي لـ AR(p):

  1. دالة ACF تتناقص بشكل أسي أو جيبي متناقص
  2. دالة PACF لها قطع عند التأخر p (قيم مهمة حتى التأخر p)
  3. يمكن حساب دالة ACF من خلال معادلات Yule-Walker
2

طرق تقدير نماذج الانحدار الذاتي

1. طريقة Yule-Walker

تستخدم طريقة Yule-Walker لحساب معاملات AR(p) من دالة الارتباط الذاتي:

\[ \begin{pmatrix} \gamma(0) & \gamma(1) & \cdots & \gamma(p-1) \\ \gamma(1) & \gamma(0) & \cdots & \gamma(p-2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \gamma(p-1) & \gamma(p-2) & \cdots & \gamma(0) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma(1) \\ \gamma(2) \\ \vdots \\ \gamma(p) \end{pmatrix} \]

2. طريقة المربعات الصغرى (OLS)

تتطلب تقدير النموذج \(X_t = \phi_1 X_{t-1} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t\) باستخدام المربعات الصغرى.

3. طريقة الامكان الأعظم (MLE)

تفترض توزيعاً معيناً للأخطاء (عادةً التوزيع الطبيعي) وتقدر المعلمات التي تعظم دالة الامكان.

مقارنة طرق تقدير نماذج AR

\(\phi_1 = 0.7\)
\(\phi_2 = 0.2\)
3

خصائص نماذج المتوسطات المتحركة

تعريف نموذج المتوسطات المتحركة (MA):

نموذج المتوسطات المتحركة من الرتبة \(q\)، يُرمز له بـ \(MA(q)\)، يعبر عنه بالعلاقة:

\[ X_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \dots + \theta_q \varepsilon_{t-q} \]

حيث \(\varepsilon_t\) هو ضجيج أبيض، و \(\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_q\) هي معاملات النموذج.

مستكشف نماذج المتوسطات المتحركة

50 200 500
السلسلة الزمنية
دالة الارتباط الذاتي (ACF)
خصائص دالة ACF لـ MA(q)

لنموذج MA(q):

  • دالة AFC لها قطع عند التأخر q
  • دالة PACF تتناقص بشكل أسي أو جيبي
  • التباين: \(\gamma(0) = \sigma^2 (1 + \theta_1^2 + \dots + \theta_q^2)\)
  • الارتباط الذاتي: \(\gamma(k) = \sigma^2 \sum_{j=0}^{q-k} \theta_j \theta_{j+k}\) لـ \(k \leq q\)
4

طرق تقدير نماذج المتوسطات المتحركة

1. طريقة المربعات الصغرى غير الخطية

نظراً لأن نموذج MA(q) غير خطي في المعلمات، يتم استخدام طرق تقدير غير خطية.

2. طريقة الامكان الأعظم (MLE)

تفترض توزيعاً للضجيج الأبيض (عادةً التوزيع الطبيعي) وتقدر المعلمات التي تعظم دالة الامكان.

3. طريقة المربعات الصغرى الشرطية

تفترض قيماً أولية للأخطاء (عادةً الصفر) ثم تقدر المعلمات باستخدام المربعات الصغرى.

تقدير معاملات نموذج MA(1)

\(θ = 0.6\)
5

خصائص نماذج ARMA

تعريف نموذج ARMA:

نموذج ARMA من الرتبة \((p,q)\)، يُرمز له بـ \(ARMA(p,q)\)، يعبر عنه بالعلاقة:

\[ X_t = \phi_1 X_{t-1} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \dots + \theta_q \varepsilon_{t-q} \]

حيث \(\varepsilon_t\) هو ضجيج أبيض، و \(\phi_i\) و \(\theta_j\) هي معاملات النموذج.

شروط الاستقرارية والقابلية للعكس:

  1. الاستقرارية: جميع جذور المعادلة \(1 - \phi_1 z - \dots - \phi_p z^p = 0\) تقع خارج دائرة الوحدة
  2. القابلية للعكس: جميع جذور المعادلة \(1 + \theta_1 z + \dots + \theta_q z^q = 0\) تقع خارج دائرة الوحدة
  3. إذا توفرت هاتين الشرطين، يمكن تمثيل ARMA كـ AR(∞) أو MA(∞)

مستكشف نماذج ARMA

معاملات AR
\(φ_1 = 0.7\)
\(φ_2 = 0.2\)
معاملات MA
\(θ_1 = 0.6\)
\(θ_2 = 0.3\)
السلسلة الزمنية
دالة الارتباط الذاتي
دالة الارتباط الذاتي الجزئي
تمثيل ARMA كـ MA(∞)
6

طرق تقدير نماذج ARMA

1. طريقة الامكان الأعظم (MLE)

الطريقة الأكثر شيوعاً لتقدير نماذج ARMA. تفترض توزيعاً للأخطاء (عادةً التوزيع الطبيعي) وتقدر المعلمات التي تعظم دالة الامكان.

2. طريقة المربعات الصغرى غير الخطية

تستخدم لتقدير معاملات ARMA عندما يكون النموذج غير خطي في المعلمات.

3. طريقة لحظات المستهلكة

تستخدم لحظات العينة (الارتباطات الذاتية) لحساب معاملات النموذج.

تقدير نموذج ARMA باستخدام MLE

تمارين الفصل الأول

التمرين 1: تحديد رتبة نموذج AR

بالنظر إلى دالة PACF التالية، ما هي الرتبة المناسبة لنموذج AR؟

التمرين 2: حساب معاملات AR باستخدام Yule-Walker

بالنظر إلى الارتباطات الذاتية التالية:

\[ \gamma(0) = 2.0, \quad \gamma(1) = 1.2, \quad \gamma(2) = 0.8 \]

احسب معاملات نموذج AR(2) باستخدام معادلات Yule-Walker.

التمرين 3: تحديد قابلية العكس لـ MA

افحص قابلية العكس للنماذج التالية:

أ) \(X_t = \varepsilon_t + 0.8\varepsilon_{t-1}\)

ب) \(X_t = \varepsilon_t + 1.2\varepsilon_{t-1}\)

الفصل التمهيدي الفصل الثاني: منهجية بوكس جينكينز