تقدم الفصل 25%

فهرس الفصل

أدوات تفاعلية

الفصل التمهيدي: العمليات العشوائية

العمليات العشوائية (Stochastic Processes) هي أدوات رياضية تستخدم لوصف الأنظمة التي تتطور مع الزمن بطريقة عشوائية. في تحليل السلاسل الزمنية، تمثل العمليات العشوائية الإطار النظري لفهم وتوصيف البيانات الزمنية.

1

مفهوم العمليات العشوائية

تعريف:

العملية العشوائية هي مجموعة من المتغيرات العشوائية المفهرسة بمعامل الزمن. رياضياً، تعرف العملية العشوائية \(\{X_t, t \in T\}\) حيث \(T\) هي مجموعة المؤشرات (عادة الوقت).

يمكن تمثيل العملية العشوائية كدالة ذات بعدين: \(X(t, \omega)\) حيث \(t\) يمثل الزمن و\(\omega\) يمثل النتيجة في فضاء العينة.

\[ \{X_t, t \in T\} \quad \text{حيث} \quad T \subseteq \mathbb{R} \]

مثال تفاعلي: عملية عشوائية بسيطة

10 50 100
منخفض متوسط عالي
2

أنواع العمليات العشوائية

1. العمليات المنفصلة الزمن

عندما تكون مجموعة المؤشرات \(T\) مجموعة منفصلة (مثل الأعداد الصحيحة)، تسمى العملية بعملية منفصلة الزمن.

\[ T = \{0, 1, 2, \dots\} \quad \Rightarrow \quad \{X_0, X_1, X_2, \dots\} \]

2. العمليات المتصلة الزمن

عندما تكون مجموعة المؤشرات \(T\) فترة في الأعداد الحقيقية، تسمى العملية بعملية متصلة الزمن.

\[ T = [0, \infty) \quad \Rightarrow \quad \{X_t, t \geq 0\} \]

مقارنة بين أنواع العمليات العشوائية

النوع المؤشرات أمثلة التطبيقات
منفصل الزمن \(T = \{0, 1, 2, \dots\}\) AR, MA, ARMA البيانات الاقتصادية الشهرية
متصلة الزمن \(T = [0, \infty)\) عملية فينر، عملية بواسون أسعار الأسهم اللحظية
3

الاستقرارية

الاستقرارية الضعيفة (الثبات من الدرجة الثانية):

العملية العشوائية \(\{X_t\}\) تكون مستقرة ضعيفاً إذا:

  1. المتوسط \(E[X_t] = \mu\) ثابت لجميع \(t\)
  2. التباين \(Var[X_t] = \sigma^2\) ثابت لجميع \(t\)
  3. دالة التباين الذاتي \(Cov[X_t, X_{t+h}] = \gamma(h)\) تعتمد فقط على \(h\) وليس على \(t\)

أداة تفاعلية: اختبار الاستقرارية

ضعيف متوسط قوي
4

شروط الاستقرارية

نظرية:

لنموذج الانحدار الذاتي من الرتبة \(p\):

\[ X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t \]

تكون العملية مستقرة إذا وفقط إذا كانت جميع جذور المعادلة المميزة:

\[ 1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \dots - \phi_p z^p = 0 \]

تقع خارج دائرة الوحدة في المستوى العقدي (قيم \(z\) المطلقة أكبر من 1).

أداة تفاعلية: فحص شروط استقرارية AR(2)

0.5
0.3

تمارين الفصل

التمرين 1: التعرف على العمليات العشوائية

حدد نوع العملية العشوائية في كل من الحالات التالية:

  1. \(X_t = 0.8 X_{t-1} + \varepsilon_t\) حيث \(\varepsilon_t \sim N(0,1)\)
  2. \(Y_t = \varepsilon_t + 0.5 \varepsilon_{t-1}\)
  3. \(Z_t = Z_{t-1} + \varepsilon_t\)

التمرين 2: اختبار الاستقرارية

افحص استقرارية النموذج التالي:

\[ X_t = 1.2 X_{t-1} - 0.2 X_{t-2} + \varepsilon_t \]
الصفحة الرئيسية الفصل الأول: نماذج الانحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة